大V的错误

知乎审计大V“吉祥物麋鹿”在文章《 利率到底是多少？》提到如何计算借款年化利率

所以利率最原始的含义，应当是使用一笔钱的成本率，所以无论现在的合同条款多么纷繁复杂，只要抓住：
你实际用了多少钱；
你为此付出了多少。
两点就不会被忽悠了。

按其意思，利率公式可写为： 你付出的利息你的借款𝑅=你付出的利息你的借款

文中提到的各种情形下的年化利率都是用此公式计算得出的。然而我认为在最后一个例子“等额本息”情形下的年化利率不能用这个公式计算。因为一笔资金在不同的时间还，它的价值是不一样的。利息4.9万在年初还还是是年末还，它的价值是不一样的；同样，100万本金是年末一次性还清还是每月等额还，价值也不一样。该公式并未考虑到这一点，因此在这一点的思考上容易产生逻辑谬误而浑然不觉。

而文中前面4个例子之所以可按照此公式计算是因为它们的利息和本金都是一次性付清的，不存在价值不一的问题（具有相同的贴现率）

无论等额本金还是等额本息都不能用这种方式计算年化利率。设期初金额为 𝐶0，月利率(按月复利计算)为 𝑟 ,年化利率为 𝑅 。则它们满足以下关系：

𝐶0(1+𝑅)=𝐶0(1+𝑟)12

所以 𝑟=(𝑅+1)112−1 ，将其代入我之前文章推出的利息总额计算公式，可得出：

(1)等额本金下 𝑅≈9.4 %

(2)等额本息下 𝑅≈9.2 %

𝑅 是实际利率，不是名义利率。名义年利率 𝑌=12𝑟

实际年利率和名义年利率满足以下关系：

𝐶0(1+𝑅)=𝐶0(1+𝑌12)12

因此 ，，𝑌12=1+𝑅12−1，𝑅=(1+𝑌12)12−1=(1+𝑟)12−1，𝑟=𝑅+112−1

在用商业贷款计算器的时候，输入的是名义年利率 𝑌 。由此也可以看出名义年利率存在的必要性：可以迅速地算出月复利率，因为只需除以12就可以。

利用我在文章《等额本息公式的推导》中的利息总额公式

总𝐼总=𝐶0[𝑌(1+𝑌12)𝑛(1+𝑌12)𝑛−1−1]

将 ，总𝐶0=100，𝐼总=4.9 代入上式得 𝑌=0.892493

将这个Y代入小米贷款计算器，可看到利息总额为4.89。说明我们的推导应该是正确的。

经验技巧：贷款公式推导出来之后，可通过贷款计算器进行验证。

实际上，就算这4.9万元在借款时直接扣除，然后每月等额归还本金，经计算实际年利率 𝑅≈9.79224 %，与麋鹿算出来的9.8%仍然有略微的差异。这是因为：

（1）除非将4.9万的利息换算成了它在期末的终值，否则实际用款平均金额（0+100）/2=50万元的计算已经失去意义，这么算犯了逻辑谬误，是一种诱导（因为实际用款是95.1万）

（2）此时的”实际用款“只能是一个等效替代词（类似等效电压、等效电阻），只要是每月还款的情形，它都不能靠这样求平均算出来，因为每月还款的价值是不一样的，且它们之间不是线性关系，而是指数关系。

实际年利率已经计算出来，那么你的借款成本是多少呢？如果你说你的借款成本是4.9万，那么你实际只借到了 4.9𝑅≈50.52 万，并非100万；如果你说你借到了100万，那么你付出的成本实际为 100𝑅≈9.79 万，怎么验证呢？由于借款成本通常是在一次性还本付息的情况下定义的，因此可将归还的每笔现金流按照月利率换算成终值，再将终值与借款金额比较。

终值 𝐹𝑉=4.9(1+𝑟)12+10012[(1+𝑟)12−1𝑟]

从第一个月开始每月还 10012 元，一直到第12个月。第一个月的资金换成第12个月为 100(1+𝑟)11 ,第12个月的资金无需换算，相当于 100(1+𝑟)0

将 ，𝑟=𝑅+112−1，𝑅≈9.79224 代入可得 𝐹𝑉≈109.79 万。

借入 100 万，最终还本付息 109.79 万，所以借款成本即利息为9.79万。由此可知我们的推导是正确的。

实际年利率 𝑅 和名义年利率 𝑌 的比较

𝑅=(1+𝑟)12−1,𝑌=12𝑟

实际上容易证明不等式 (1+𝑟)𝑛≥1+𝑛𝑟 在 𝑟 > −1 且 𝑛 为非负整数时恒成立，所以 (1+𝑟)𝑛−1≥𝑛𝑟

在讨论年利率时 𝑛=12 ，因此 𝑅>𝑌 ，即实际年利率总是要大于名义年利率。

每月还利息和一次性还本付息

假设贷款6万，名义年利率 𝑌 为12%，期限一年，问以下两种还款方式的实际年利率一样吗？

方式一：最后一个月还本付息67200元

方式二：每月还利息600元最后一个月还本金6万

很容易得出方式一的实际年利率为12%。现在来求方式二的年化利率。

60000=6001+𝑟+600(1+𝑟)2+…+600(1+𝑟)12+60000(1+𝑟)12

得出 𝑟=1 %，年化利率 𝑅=(1+𝑟)12−1=12.68 %

我们发现，两者的月利率相同，但年化利率不同。下面作一下推导：

设总金额为 𝑄 ，每月还利息，期限为 𝑛 个月，最后一个月把 𝑄 也还上，则有

𝑄=𝑄𝑌12[1−1(1+𝑟)𝑛]1𝑟+𝑄(1+𝑟)𝑛

⇒ 𝑌[(1+𝑟)𝑛−1]=12𝑟[(1+𝑟)𝑛−1]

因此 𝑟=𝑌12

可见两种方式下月利率确实相同，但区别在于方式一以 𝑟 单利计息，方式二以 𝑟 复利计息。（其实这与等额本金的利息产生方式相同，由于贷款金额始终不变，因此每月产生的利息也始终相同）。同样经过 𝑛 个月，一次性还本付息，方式一要还款 𝑄(1+𝑛𝑟) ，方式二要还款 𝑄(1+𝑟)𝑛

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